Buchmacher-Marge herausrechnen: fünf Methoden für faire Quoten im Vergleich

Eine Quote ist kein reiner Wahrscheinlichkeitswert. Sie enthält den Preis, den der Buchmacher für sein Angebot verlangt. Wer Quoten verschiedener Anbieter vergleichen, eigene Schätzungen prüfen oder den Wert einer Wette beurteilen will, muss diesen Aufschlag zuerst entfernen. Das Ergebnis nennt man faire Quote oder marktimplizite Wahrscheinlichkeit.

Wie die Grundlagen der Quotenschreibweise funktionieren, erklärt der Ratgeber Was bedeuten Sportwetten-Quoten. Hier geht es um den nächsten Schritt: Welche Rechenwege es gibt, worin sie sich unterscheiden und warum die Wahl der Methode vor allem bei Außenseitern spürbar wird.

Was die Marge in einer Quote ist

Der Kehrwert einer Dezimalquote ist die implizite Wahrscheinlichkeit. Eine Quote von 2,00 entspricht 50 Prozent. Addiert man die Kehrwerte aller Ausgänge eines Marktes, erhält man bei fairen Quoten genau 100 Prozent. Bei einem Buchmacher liegt die Summe darüber. Der Überschuss heißt Overround, die Differenz zu 100 Prozent bezeichnet man als Marge.

Joseph Buchdahl rechnet in seiner Abhandlung „Wisdom of the Crowd“ ein Beispiel vor: Für das Champions-League-Finale 2017 zwischen Juventus und Real Madrid lagen bei einem britischen Buchmacher die Quoten 2,88, 3,00 und 2,62 vor. Die Kehrwerte ergeben zusammen 106,2 Prozent, die Marge beträgt also 6,2 Prozent. Egidi, Pauli und Torelli beziffern den üblichen Aufschlag der Buchmacher in ihrer Arbeit von 2018 auf 5 bis 10 Prozent.

Wie Buchmacher ihre Ausgangsquoten überhaupt bilden, beschreibt der Beitrag Wie berechnen Buchmacher ihre Quoten. Für das Herausrechnen ist entscheidend, wie der Aufschlag auf die einzelnen Ausgänge verteilt wurde. Genau darüber geben die Anbieter keine Auskunft, und daher gibt es mehrere Modelle.

Das Rechenbeispiel: ein 1X2-Markt

Alle folgenden Zahlen beziehen sich auf ein erfundenes Beispiel. Ein Fußballspiel wird mit den Quoten 1,65 für den Heimsieg, 3,90 für das Unentschieden und 5,50 für den Auswärtssieg angeboten.

• Heimsieg: 1 / 1,65 = 60,61 Prozent
• Unentschieden: 1 / 3,90 = 25,64 Prozent
• Auswärtssieg: 1 / 5,50 = 18,18 Prozent
• Summe (Buchsumme): 104,43 Prozent, die Marge beträgt also 4,43 Prozent

Die Aufgabe lautet jetzt: Wie verteilen sich diese 4,43 Prozentpunkte auf die drei Ausgänge? Jede Methode beantwortet die Frage anders.

Methode 1: proportional teilen

Die verbreitetste Methode teilt jede implizite Wahrscheinlichkeit durch die Buchsumme. In der Literatur heißt sie Normalisierung oder multiplikative Methode. Štrumbelj nennt die Buchsumme in seiner Arbeit von 2014 „booksum“; Egidi und Koautoren beschreiben das Verfahren als besonders beliebt, weil es einfach ist.

Im Beispiel ergibt das 60,61 / 104,43 = 58,04 Prozent für den Heimsieg, 24,55 Prozent für das Unentschieden und 17,41 Prozent für den Auswärtssieg. Die fairen Quoten lauten 1,72, 4,07 und 5,74. Jeder Ausgang trägt damit relativ gesehen denselben Anteil der Marge.

Diese Annahme ist bequem, aber sie passt nicht zu dem, was man in Wettmärkten beobachtet. Der Grund ist eine der am besten untersuchten Regelmäßigkeiten der Wettmathematik.

Die Favorit-Außenseiter-Verzerrung

Snowberg und Wolfers fassen das Phänomen in einer NBER-Arbeit von 2010 knapp zusammen: Außenseiter werden zu stark gewettet, Favoriten zu schwach. Wer blind auf Außenseiter setzt, verliert im Schnitt einen höheren Anteil seines Einsatzes als jemand, der blind auf Favoriten setzt. Die beiden Autoren testen zwei Erklärungen, Risikofreude und Fehleinschätzung kleiner Wahrscheinlichkeiten, und finden Belege für die zweite.

Buchdahl schreibt, die Verzerrung sei in mehreren Sportarten nachweisbar, darunter Fußball, Tennis, Basketball, Snooker, Darts und Pferderennen. Für das Herausrechnen bedeutet das: Auf lange Quoten entfällt vermutlich mehr Marge als auf kurze. Eine proportionale Teilung zieht beim Außenseiter zu wenig ab, seine faire Quote fällt dadurch zu kurz aus.

Methode 2: Marge proportional zur Quote

Buchdahl hat ein Modell veröffentlicht, in dem der Aufschlag auf jeden Ausgang proportional zur Höhe der Quote ist. Bei n Ausgängen und Marge M lautet die Formel für die faire Quote: faire Quote = n · O / (n − M · O). In seinem Beispiel wird aus einer angebotenen Quote von 6,25 bei 8 Prozent Marge eine faire Quote von 3 · 6,25 / (3 − 0,08 · 6,25) = 7,50.

Formt man die Gleichung nach der Wahrscheinlichkeit um, ergibt sich p = 1/O − M/n. Jeder Ausgang verliert also denselben absoluten Betrag an Wahrscheinlichkeit. Das entspricht der additiven Methode, die im Paket „implied“ für die Statistiksoftware R dokumentiert ist. Dort steht auch die Schwäche: Bei Märkten mit vielen unwahrscheinlichen Ausgängen können negative Wahrscheinlichkeiten entstehen.

Im Beispiel zieht jeder Ausgang 4,43 / 3 = 1,48 Prozentpunkte ab. Heraus kommen 59,13, 24,16 und 16,71 Prozent, als faire Quoten 1,69, 4,14 und 5,99.

Methoden 3 und 4: Odds Ratio und Power

Die Odds-Ratio-Methode geht auf Keith Cheung zurück und wird in der Dokumentation des R-Pakets „implied“ sowie bei Buchdahl beschrieben. Sie nimmt an, dass zwischen fairer Wahrscheinlichkeit p und Buchmacher-Wahrscheinlichkeit r für jeden Ausgang dasselbe Chancenverhältnis c gilt. Daraus folgt p = r / (c − c · r + r). Der Wert c wird so lange angepasst, bis die drei Wahrscheinlichkeiten genau 100 Prozent ergeben. Im Beispiel liegt c bei 1,0804, die Ergebnisse sind 58,75, 24,19 und 17,06 Prozent.

Die Power-Methode, bei Buchdahl „logarithmische Funktion“ genannt, hebt jede implizite Wahrscheinlichkeit mit demselben Exponenten k an: p = r hoch k. Weil alle Werte kleiner als eins sind, schrumpfen kleine Wahrscheinlichkeiten relativ stärker. Im Beispiel ist k = 1,0473, das ergibt 59,19, 24,04 und 16,77 Prozent.

Methode 5: das Shin-Modell

Hyun Song Shin hat 1992 und 1993 im Economic Journal ein Modell veröffentlicht, in dem ein Teil der Wettenden Insider sind, die den Ausgang bereits kennen. Der Buchmacher kann sie nicht von anderen Kunden unterscheiden und schützt sich, indem er vor allem lange Quoten verkürzt. Der geschätzte Insider-Anteil heißt z.

Jullien und Salanié haben 1994 eine geschlossene Formel für die Wahrscheinlichkeiten hergeleitet, die Egidi und Koautoren wiedergeben: p = (Wurzel aus (z² + 4 · (1 − z) · r² / B) − z) / (2 · (1 − z)). Dabei ist r die implizite Wahrscheinlichkeit des Ausgangs und B die Buchsumme. Der Wert z wird numerisch so gewählt, dass die Summe 100 Prozent ergibt. Bei nur zwei Ausgängen lässt sich z direkt berechnen, und das Ergebnis stimmt mit der additiven Methode überein.

Im Beispiel liegt z bei 2,23 Prozent. Die Wahrscheinlichkeiten betragen 58,85, 24,26 und 16,89 Prozent. Zur Kontrolle wurde die Formel auch auf das Beispiel der Python-Bibliothek „shin“ angewendet (Quoten 2,6, 2,4 und 4,3); sie liefert dieselben Werte wie dort angegeben.

Štrumbelj kam 2014 im International Journal of Forecasting zu dem Ergebnis, dass Shin-Wahrscheinlichkeiten genauer sind als die einfache Normalisierung; gemessen wurde mit dem Ranked Probability Score. Egidi und Koautoren beobachteten in Daten der spanischen Liga, dass die Normalisierung dem Unentschieden tendenziell höhere Wahrscheinlichkeiten zuweist als das Shin-Verfahren. Das passt zum Beispiel oben: 24,55 gegenüber 24,26 Prozent.

Alle Methoden im Vergleich

Beim Favoriten liegen alle Verfahren zwischen 1,69 und 1,72. Beim Außenseiter reicht die Spanne von 5,74 bis 5,99. Genau dort entscheidet die Methode, ob eine angebotene Quote als Wert erscheint oder nicht.

Wie die Methoden in echten Daten abschneiden

Buchdahl hat die Modelle an Schlussquoten eines Buchmachers mit niedriger Marge getestet: 136.876 Spiele vom 11. August 2007 bis 4. Juni 2016. Er setzte rechnerisch auf jeden Ausgang zum jeweils errechneten fairen Preis. Wären die fairen Quoten genau, müsste die Rendite bei null liegen.

• Originalquoten mit Marge: −3,36 Prozent
• Gleichmäßige (proportionale) Verteilung: −0,56 Prozent
• Marge proportional zur Quote: +0,1 Prozent
• Odds Ratio: −0,20 Prozent
• Logarithmische Funktion (Power): +0,07 Prozent

Die proportionale Methode schneidet am schwächsten ab, was Buchdahl auf die nicht berücksichtigte Favorit-Außenseiter-Verzerrung zurückführt. Die beiden Methoden mit leicht positivem Ergebnis überschätzen die Verzerrung nach seiner Deutung etwas. Er betont außerdem, dass die Schätzung umso unzuverlässiger wird, je größer die Marge des Ausgangsmarktes ist.

Was das für eine Wettentscheidung bedeutet

Angenommen, ein anderer Anbieter bietet im Beispielspiel 6,00 auf den Auswärtssieg an. Mit der proportionalen Methode beträgt die faire Wahrscheinlichkeit 17,41 Prozent, der erwartete Wert also 0,1741 · 6,00 − 1 = +4,46 Prozent. Bei 10 Euro Einsatz wären das rechnerisch 0,45 Euro. Mit Shin sind es nur 0,1689 · 6,00 − 1 = +1,34 Prozent oder 0,13 Euro.

In Deutschland kommt die Sportwettensteuer hinzu. Nach § 17 und § 18 Rennwett- und Lotteriegesetz beträgt sie 5,3 Prozent des Wetteinsatzes abzüglich der Steuer selbst, was rechnerisch etwa 5,03 Prozent des gesamten Einsatzes entspricht. Wie ein Anbieter diese Steuer weitergibt, regeln seine Geschäftsbedingungen. Trägt der Wettende sie voll, wäre im Beispiel jeder der beiden Vorteile aufgezehrt. Mehr zum Quotenvergleich finden Sie unter beste Wettquoten.

Schritt für Schritt zur fairen Quote

1. Alle Quoten eines vollständigen Marktes beim selben Anbieter und zum selben Zeitpunkt notieren.
2. Kehrwerte bilden und addieren; der Überschuss über 100 Prozent ist die Marge.
3. Bei ausgeglichenen Märkten genügt die proportionale Methode als Näherung.
4. Bei klaren Favoriten oder vielen Ausgängen ein Verfahren wählen, das Außenseiter stärker belastet, etwa Shin oder Power.
5. Die faire Wahrscheinlichkeit mit der besten verfügbaren Quote multiplizieren, eins abziehen und die Steuerbelastung berücksichtigen.

Wer mit fairen Wahrscheinlichkeiten Einsätze bemisst, sollte den Ratgeber zur Kelly-Strategie kennen. Wie sich ein Preis bis zum Anpfiff bewegt und warum die Schlussquote als Maßstab dient, erklärt der Artikel Closing Line Value.

Kurz zusammengefasst

Die Marge herauszurechnen ist der erste Schritt jeder ernsthaften Quotenbewertung. Die proportionale Methode ist schnell, verkürzt aber Außenseiterquoten. Margin Weights, Odds Ratio, Power und Shin berücksichtigen die Favorit-Außenseiter-Verzerrung und liegen in Buchdahls Test näher an einer Rendite von null. Ein scheinbarer Vorteil von wenigen Prozent kann allein durch die Wahl der Methode und die Steuer verschwinden.