Elo im Fußball: vom Schachbrett zur Siegwahrscheinlichkeit

Wer Mannschaften vergleichen will, braucht ein Maß für ihre Stärke. Die Tabelle ist dafür zu grob: Sie kennt weder die Stärke der Gegner noch den Heimvorteil, und sie reagiert nur langsam auf Formwechsel. Das Elo-System löst diese Probleme mit einer einzigen Zahl pro Team, die nach jedem Spiel angepasst wird.

Für Wettende ist Elo interessant, weil sich aus der Differenz zweier Ratings direkt eine Erwartung ableiten lässt. Diese Erwartung kann man mit Quoten vergleichen. Wie das funktioniert und wo die Grenzen liegen, zeigt dieser Beitrag.

Herkunft: Arpad Elo und das Schach

Arpad Elo wurde laut Wikipedia am 25. August 1903 in Ungarn geboren und starb am 5. November 1992 in Brookfield, Wisconsin. Er lehrte von 1926 bis 1969 Physik an der Marquette University in Milwaukee und war ein starker Schachspieler. Sein Bewertungssystem baute auf dem älteren Harkness-System von 1950 auf.

Der US-Schachverband USCF übernahm Elos Vorschläge 1960, der Weltschachbund FIDE 1970. 1978 erschien sein Buch The Rating of Chessplayers, Past and Present . Die Grundidee ist bis heute gleich: Jeder Spieler hat eine Zahl, und das Ergebnis einer Partie verschiebt Punkte vom Verlierer zum Gewinner – umso mehr, je überraschender das Ergebnis war.

Die Formel: Erwartungswert und K-Faktor

Das Herzstück ist der Erwartungswert. Für Spieler A gegen Spieler B gilt nach der Darstellung des Elo-Systems:

E(A) = 1 ÷ (1 + 10 hoch ((R(B) − R(A)) ÷ 400))

E ist der erwartete Punktanteil: Ein Sieg zählt 1, ein Remis 0,5, eine Niederlage 0. Der Divisor 400 legt die Skala fest. Ein Vorsprung von 100 Punkten ergibt einen Erwartungswert von etwa 64 %, 200 Punkte von etwa 76 %.

Nach der Partie wird das Rating angepasst: neues Rating = altes Rating + K × (Ergebnis − Erwartung). Der K-Faktor bestimmt, wie stark ein einzelnes Ergebnis zählt. Die FIDE verwendet K = 40 für neue Spieler und Jugendliche unter 2300, K = 20 für Spieler, die immer unter 2400 lagen, und K = 10 für Spieler ab 2400 mit ausreichend Partien.

Erwartungswert nach Ratingdifferenz

Die folgende Tabelle ist mit der Formel selbst nachgerechnet:

Elo im Fußball: was angepasst werden muss

Fußball unterscheidet sich vom Schach in drei Punkten: Es gibt einen deutlichen Heimvorteil, Ergebnisse haben eine Höhe, und Remis sind häufig. Die bekanntesten Fußball-Elo-Systeme berücksichtigen die ersten beiden ausdrücklich.

World Football Elo Ratings

Bob Runyan übertrug das System nach Angaben der englischen Wikipedia 1997 auf Nationalmannschaften. Die Rechnung lautet: neues Rating = altes Rating + K × G × (W − We).

• K nach Wettbewerb: 60 für WM-Endrunden, 50 für kontinentale Meisterschaften und interkontinentale Turniere, 40 für WM- und EM-Qualifikation sowie große Turniere, 30 für andere Turniere, 20 für Freundschaftsspiele.
• G für die Tordifferenz: 1 bei Remis oder einem Tor Unterschied, 1,5 bei zwei Toren, bei drei und mehr Toren (11 + N) ÷ 8, wobei N die Tordifferenz ist.
• W für das Ergebnis: 1, 0,5 oder 0. Ein Elfmeterschießen zählt als Remis.
• We für die Erwartung: 1 ÷ (10 hoch (−dr ÷ 400) + 1), wobei die Heimmannschaft 100 Punkte auf die Differenz dr aufgeschlagen bekommt.

ClubElo für Vereine

Für Vereinsmannschaften ist ClubElo die bekannteste Quelle. Laut einer Arbeit des Wissenschaftlers László Csató (arXiv, später im Journal of Sports Economics) ergänzt ClubElo das Standardsystem ebenfalls um Heimvorteil und Tordifferenz. Bei Hin- und Rückspiel im Europapokal zählt das Gesamtergebnis beider Partien als ein Spiel; die ausgetauschten Punkte werden dafür mit der Wurzel aus 2 multipliziert. Csató weist außerdem darauf hin, dass Teams aus schwächeren Ligen nur über wenige internationale Spiele bewertet werden und ihre Ratings daher unsicherer sind.

Rechenbeispiel: ein Qualifikationsspiel

Beispiel mit fiktiven Ratings, selbst nachgerechnet nach den Regeln der World Football Elo Ratings: Team A (1850) empfängt Team B (1800) in der WM-Qualifikation, also K = 40. Die Differenz beträgt 50 Punkte, dazu kommen 100 Punkte Heimvorteil: dr = 150. Der Erwartungswert für A liegt damit bei 70,3 %.

Team B erhält jeweils dieselbe Punktzahl mit umgekehrtem Vorzeichen. Das zeigt den Kern des Systems: Ein Heimremis des Favoriten kostet Punkte, eine Heimniederlage viele.

Von Elo zur Quote: der Remis-Haken

Der Erwartungswert ist keine Siegwahrscheinlichkeit. Ein Wert von 70,3 % bedeutet, dass A im Schnitt 0,703 Punkte (Sieg = 1, Remis = 0,5) holt. Wie viel davon auf Siege und wie viel auf Remis entfällt, sagt die Formel nicht. Für Wetten auf den Ausgang 1X2 brauchen Sie aber genau diese Aufteilung.

Beispiel (fiktive Quoten, selbst nachgerechnet): Für das Spiel bietet ein Buchmacher 1,80 / 3,60 / 4,50. Die Summe der Kehrwerte beträgt 1,0556, die Marge also rund 5,6 %. Nach dem Herausrechnen der Marge ergeben sich 52,6 % Heimsieg, 26,3 % Remis und 21,1 % Auswärtssieg.

1. Vergleich auf Ebene des Erwartungswerts: Der Markt impliziert für A 0,526 + 0,5 × 0,263 = 65,8 %. Elo sieht 70,3 %. Elo hält A also für stärker als der Markt.
2. Umrechnung auf den Sieg: Übernimmt man die Remis-Wahrscheinlichkeit des Marktes von rund 26 %, bleibt für den Heimsieg 0,703 − 0,5 × 0,26 = 57,3 %. Das entspräche einer fairen Quote von 1,74, während der Markt fair bei 1,90 liegt.

Ob das ein echter Vorteil ist, beantwortet die Rechnung nicht. Die Remis-Annahme ist geliehen, der Heimvorteil von 100 Punkten ist ein Durchschnitt, und der Markt kennt Informationen, die Elo nicht hat. Sinnvoll ist ein solcher Abgleich vor allem als Filter: Wo Elo und Quote stark auseinanderliegen, lohnt eine genauere Prüfung, etwa mit xG-Daten oder einem Poisson-Modell, das Remis direkt ausweist.

Was die Forschung über Elo und Quoten sagt

Hvattum und Arntzen haben 2010 im International Journal of Forecasting untersucht, wie gut Elo-basierte Modelle Fußballergebnisse vorhersagen. Laut der Besprechung von Graham Kendall wurden die Modelle auf acht Spielzeiten von 2000/01 bis 2007/08 getestet und mit sechs Vergleichsmodellen verglichen.

Das Ergebnis: Die beiden Elo-Modelle waren besser als die einfachen Vergleichsmodelle, etwa eine reine Zufalls- oder Häufigkeitsprognose. Sie waren aber signifikant schlechter als die beiden Modelle, die auf Buchmacherquoten beruhten. Für Wettende heißt das: Elo allein schlägt den Markt in dieser Untersuchung nicht. Das passt zu dem, was Buchmacher bei der Quotenberechnung ohnehin einfließen lassen.

Einen eigenen Elo-Abgleich aufbauen

Wer Elo nicht nur ablesen, sondern selbst rechnen möchte, kommt mit einer Tabellenkalkulation aus. Die Schritte sind überschaubar, die Sorgfalt liegt in den Details.

1. Startwerte festlegen: Alle Teams beginnen mit demselben Rating. Die ersten Spielzeiten dienen nur zum Einschwingen und werden nicht ausgewertet.
2. Ergebnisse chronologisch einspielen: Jedes Spiel verändert beide Ratings, bevor das nächste berechnet wird. Eine falsche Reihenfolge verfälscht alle späteren Werte.
3. Heimvorteil und K-Faktor kalibrieren: Probieren Sie mehrere Werte aus und prüfen Sie, mit welcher Kombination die Erwartungswerte am besten zu den tatsächlichen Ergebnissen früherer Spielzeiten passen.
4. Auf- und Absteiger behandeln: Neue Teams in einer Liga brauchen eine Regel, etwa die Übernahme des Ratings des Absteigers, den sie ersetzen.
5. Gegen Schlussquoten testen: Ob die eigenen Werte etwas taugen, zeigt sich nicht an einzelnen Treffern, sondern daran, ob Wetten nach dem Elo-Signal über viele Spiele den Closing Line Value schlagen.

Grenzen des Elo-Systems

• Keine Spielerinformationen: Verletzungen, Sperren und Transfers sieht Elo erst, wenn sie sich in Ergebnissen niederschlagen.
• Remis werden nicht modelliert: Der Erwartungswert muss für 1X2-Wetten erst aufgeteilt werden.
• Heimvorteil als Konstante: Ein fester Aufschlag passt nicht für jedes Stadion, jede Reisedistanz und jede Saison gleich gut.
• Die Wahl von K ist ein Kompromiss: Ein hoher K-Faktor reagiert schnell auf Formwechsel, übertreibt aber Zufallsergebnisse; ein niedriger ist stabil, aber träge.
• Wenige Spiele, unsichere Ratings: Aufsteiger, neue Teams und Klubs aus kleinen Ligen haben wenig Datengrundlage.
• Ergebnis statt Leistung: Elo bewertet Tore und Punkte, nicht die Qualität der Chancen. Ein glücklicher Sieg zählt wie ein verdienter.

Kurz zusammengefasst

Elo ist ein transparentes, leicht nachrechenbares Stärkemaß: Ratingdifferenz rein, Erwartungswert raus, nach dem Spiel Punkte verschieben. Fußballversionen ergänzen Heimvorteil, Wettbewerbsgewicht und Tordifferenz. Für den Vergleich mit Quoten müssen Sie die Marge entfernen und das Remis gesondert schätzen.

Als alleinige Wettgrundlage reicht Elo nach der Studienlage nicht, als schneller Plausibilitätscheck für Fußballwetten taugt es gut. Sportwetten sind ab 18 Jahren erlaubt; wetten Sie nur mit Geld, dessen Verlust Sie verkraften können.