Tore schätzen mit Poisson: vom Erwartungswert zur Ergebnis-Matrix

Fußball ist ein Sport mit wenigen Toren. Gerade das macht ihn für ein bestimmtes statistisches Werkzeug zugänglich: die Poisson-Verteilung. Sie beschreibt, wie oft ein seltenes Ereignis in einem festen Zeitraum eintritt, wenn man nur den Durchschnitt kennt. Für Wettende ist das reizvoll, weil sich aus zwei Erwartungswerten eine vollständige Tabelle aller Spielstände ableiten lässt.

Dieser Beitrag zeigt Schritt für Schritt, wie das Modell funktioniert, rechnet ein Beispielspiel vollständig durch und erklärt, wo die Grenzen liegen. Alle Mannschaftswerte im Beispiel sind frei erfunden und dienen nur der Veranschaulichung.

Warum gerade die Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau k Ereignisse eintreten, wenn im Mittel λ (Lambda) Ereignisse zu erwarten sind. Die Formel lautet: P(k) ist gleich λ hoch k mal e hoch −λ, geteilt durch k Fakultät (also 1 · 2 · … · k). Die Zahl e ist die Eulersche Zahl, rund 2,718. Ein Team, das im Mittel 1,73 Tore erzielt, trifft danach mit 17,7 Prozent Wahrscheinlichkeit gar nicht und mit 30,7 Prozent genau einmal.

Als einer der ersten gründlich untersuchten Ansätze gilt das Modell von Mike Maher aus dem Jahr 1982, erschienen in der Fachzeitschrift Statistica Neerlandica. Maher modellierte die Tore der Heim- und der Gastmannschaft als zwei unabhängige Poisson-Variablen. Penn und Donnelly haben dieses Doppel-Poisson-Modell in einer Arbeit von 2022 untersucht; ihre Vorhersagen damit gewannen den Prognosewettbewerb der Royal Statistical Society zur Europameisterschaft 2020.

Angriffsstärke, Abwehrstärke, Heimvorteil

Helge Langseth fasst Mahers Aufbau so zusammen: Jede Mannschaft hat eine Angriffsstärke α und eine Abwehrstärke β. Ein hoher Angriffswert bedeutet viele erzielte Tore, ein niedriger Abwehrwert wenige Gegentore; die Werte sind so normiert, dass der Ligadurchschnitt bei eins liegt. Hinzu kommt ein Heimvorteil k, der für alle Teams gleich ist.

Die erwarteten Tore des Heimteams i gegen Gast j sind dann k · αi · βj, die des Gastes αj · βi. Maher schätzte die Parameter mit der Maximum-Likelihood-Methode. Eine verbreitete vereinfachte Variante rechnet direkt mit Ligadurchschnitten: Angriffsstärke ist dann die Torquote eines Teams geteilt durch den Ligaschnitt, Abwehrstärke die Gegentorquote geteilt durch den Ligaschnitt.

Rechenbeispiel: die erwarteten Tore

Für das Beispiel nehmen wir eine Liga an, in der Heimteams im Schnitt 1,60 und Gastteams 1,30 Tore pro Spiel erzielen. Die Werte der beiden Mannschaften:

• Heimteam: Angriffsstärke zu Hause 1,20, Abwehrstärke zu Hause 0,85
• Gastteam: Angriffsstärke auswärts 0,95, Abwehrstärke auswärts 0,90
• Erwartete Heimtore: 1,60 · 1,20 · 0,90 = 1,728, gerundet 1,73
• Erwartete Gasttore: 1,30 · 0,95 · 0,85 = 1,050, gerundet 1,05

Der Heimvorteil steckt in dieser Variante bereits in den getrennten Ligadurchschnitten für Heim- und Auswärtsspiele. Mit diesen beiden Erwartungswerten ist das Modell vollständig bestimmt.

Wichtig ist die Datenbasis. Wenige Spiele führen zu stark schwankenden Stärkewerten, weil einzelne Kantersiege den Schnitt verzerren. Ein langer Zeitraum glättet zwar, reagiert aber träge auf Veränderungen im Kader. Ein Teil der Unsicherheit eines Poisson-Modells liegt daher nicht in der Verteilung selbst, sondern in den geschätzten Eingangswerten.

Die Torverteilung jedes Teams

Setzt man λ = 1,73 und λ = 1,05 in die Poisson-Formel ein, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, 2 und mehr Tore. Für das Heimteam lauten sie 17,7, 30,7, 26,5, 15,3, 6,6 und 2,3 Prozent für 0 bis 5 Tore. Für das Gastteam sind es 35,0, 36,7, 19,3, 6,8, 1,8 und 0,4 Prozent.

Weil das Modell beide Torzahlen als unabhängig behandelt, ist die Wahrscheinlichkeit eines Spielstands einfach das Produkt. Ein 1:1 hat danach 30,7 Prozent mal 36,7 Prozent, also rund 11,3 Prozent.

Die Ergebnis-Matrix des Beispielspiels

Die Tabelle zeigt alle Spielstände bis 4:4. Zeilen stehen für Heimtore, Spalten für Gasttore, die Werte sind Prozent.

Die Felder bis 4:4 decken zusammen 96,4 Prozent ab, der Rest entfällt auf Ergebnisse mit fünf oder mehr Toren eines Teams. Für die folgenden Summen wurde die Matrix bis zehn Tore je Team berechnet. Das wahrscheinlichste Einzelergebnis ist das 1:1 mit 11,3 Prozent, knapp vor dem 1:0 mit 10,7 Prozent.

Von der Matrix zu 1X2 und Über/Unter 2,5

Für die Dreiwegwette addiert man die Felder unterhalb der Diagonale (Heimsieg), auf der Diagonale (Unentschieden) und oberhalb (Auswärtssieg). Für Über/Unter 2,5 zählen alle Felder mit mindestens drei Toren insgesamt.

Die faire Quote ist der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit. Um sie mit einem Angebot zu vergleichen, muss die Marge aus den Marktquoten entfernt werden; wie das geht, steht im Artikel Faire Quoten: Marge herausrechnen. Angenommen, ein Anbieter bietet 2,05 auf über 2,5 Tore: Nach dem Modell läge der erwartete Wert bei 0,526 · 2,05 − 1, also bei rund +7,8 Prozent vor Steuer. Ob das Modell oder der Markt richtig liegt, ist damit aber nicht entschieden. Hintergründe zu Torwetten bietet der Ratgeber zur Über/Unter-Strategie.

Die Schwächen des einfachen Modells

Das Poisson-Modell ist elegant, beruht aber auf Annahmen, die im Fußball nur näherungsweise gelten.

• Unabhängigkeit der Tore. Goddard und Asimakopoulos berichten, dass schon bei Maher eine Tendenz auftrat, den Anteil der Unentschieden zu unterschätzen. Er führte das auf eine Abhängigkeit zwischen den Toren beider Teams zurück und korrigierte mit einer bivariaten Poisson-Verteilung.
• Streuung. Bei einer Poisson-Verteilung sind Erwartungswert und Varianz gleich. Langseth verweist auf Karlis und Ntzoufras, die in echten Spieldaten eine größere Varianz als den Erwartungswert fanden.
• Hohe Ergebnisse. Penn und Donnelly stellen fest, dass die Poisson-Verteilung die Wahrscheinlichkeit sehr vieler Tore überschätzt.
• Konstante Stärken. Das Grundmodell nimmt an, dass sich Angriff und Abwehr über die Saison nicht ändern. Verletzungen, Trainerwechsel oder Transfers bleiben außen vor.

Die Korrektur von Dixon und Coles

Mark Dixon und Stuart Coles haben Mahers Modell 1997 im Journal of the Royal Statistical Society, Series C, erweitert. Laut Langseth war der Ausgangspunkt eine Untersuchung von 6.629 Liga- und Pokalspielen aus den Jahren 1992 bis 1995. Die erste Erweiterung ist ein Faktor τ, der nur die vier niedrigsten Spielstände verändert. Winkelmann, Michels und Deutscher geben ihn so an: 1 − λμρ für 0:0, 1 + λρ für 0:1, 1 + μρ für 1:0 und 1 − ρ für 1:1, alle anderen Spielstände bleiben unverändert. Dabei sind λ und μ die erwarteten Tore von Heim- und Gastteam, ρ ist der Abhängigkeitsparameter.

Ist ρ negativ, wandert Wahrscheinlichkeit von 1:0 und 0:1 zu 0:0 und 1:1. Mit einem angenommenen ρ von −0,10 verändert sich das Beispielspiel so: Das 0:0 steigt von 6,2 auf 7,3 Prozent, das 1:1 von 11,3 auf 12,4 Prozent. Das 1:0 sinkt von 10,7 auf 9,6 Prozent, das 0:1 von 6,5 auf 5,4 Prozent. Das Unentschieden insgesamt steigt von 23,7 auf 26,0 Prozent, der Heimsieg fällt auf 52,2 und der Auswärtssieg auf 21,8 Prozent. Über/Unter 2,5 bleibt gleich, weil alle vier Felder höchstens zwei Tore haben.

Das Vorzeichen ist allerdings keine feste Größe. Winkelmann und Koautoren schätzten für die Champions League 2024/25 ein ρ von 0,102, also eine Verschiebung in die Gegenrichtung, und für die Europa League einen Wert nahe null. Die zweite Erweiterung von Dixon und Coles betrifft die Zeit: Ältere Spiele erhalten weniger Gewicht, damit das Modell auf Formänderungen reagiert.

So setzen Sie das Modell sinnvoll ein

1. Mindestens eine Saison Daten verwenden und Heim- und Auswärtsspiele getrennt auswerten.
2. Jüngere Spiele stärker gewichten, wie es Dixon und Coles vorgeschlagen haben.
3. Erwartungswerte berechnen, die Matrix bis mindestens sechs Tore je Team aufstellen und prüfen, ob sie sich auf annähernd 100 Prozent summiert.
4. Die Remis-Wahrscheinlichkeit kritisch prüfen und gegebenenfalls mit einer Dixon-Coles-Korrektur arbeiten.
5. Modellwerte immer mit margenbereinigten Marktquoten vergleichen und das Ergebnis mit der Schlussquote kontrollieren, siehe Closing Line Value.

Statt reiner Tore lassen sich auch Expected Goals als Eingangswerte verwenden; darum geht es im Artikel Expected Goals bei Wetten. Allgemeines zu Wetten auf die deutsche Liga finden Sie im Überblick zu Bundesliga-Wetten. Wetten ist ab 18 Jahren erlaubt; auch ein gutes Modell schützt nicht vor Verlustserien.

Kurz zusammengefasst

Die Poisson-Verteilung macht aus zwei erwarteten Torzahlen eine vollständige Ergebnis-Matrix, aus der sich 1X2, Über/Unter und genaue Ergebnisse ablesen lassen. Grundlage sind Angriffs- und Abwehrstärken relativ zum Ligaschnitt. Die Annahme unabhängiger Tore führt bei knappen Ergebnissen zu Abweichungen, die Dixon und Coles mit einem Korrekturfaktor und zeitlicher Gewichtung angehen. Nützlich wird das Modell erst im Vergleich mit dem Markt.